已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2-

难度：一般 题型：解答题 来源：兰州一模

题目

已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2-x+2
（I）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅲ）对一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．

答案

（Ⅰ）f′（x）=lnx+1令f′（x）＜0解得0＜x＜

1
e

∴f（x）的单调递减区间为(0，
1
e
)
令f′（x）＞0解得x＞
1
e

∴f（x）的单调递增区间为(
1
e
，+∞)；
（Ⅱ）当0＜t＜t+2＜
1
e
时，t无解
当0＜t≤
1
e
＜t+2，即0＜t≤
1
e
时，
∴f(x)min=f(
1
e
)=-
1
e
；
当
1
e
＜t＜t+2，即t＞
1
e
时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，
∴f（x）min=f（t）=tlnt
∴f(x)min=

解析

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