题目

设函数y=f （x）是定义域为R的奇函数，且满足f （x-2）=-f （x）对一切x∈R恒成立，当-1≤x≤1时，f （x）=x³，则下列四个命题：
①f（x）是以4为周期的周期函数．
②f（x）在[1，3]上的解析式为f （x）=（2-x）³．
③f（x）在(

3

2

，f(

3

2

))处的切线方程为3x+4y-5=0．
④f（x）的图象的对称轴中，有x=±1，其中正确的命题是（　　）

A．①②③

B．②③④

C．①③④

D．①②③④

答案

∵f （x-2）=-f （x）对一切x∈R恒成立，
∴f （x-4）=-f （x-2）=-[-f（x）]=f（x）∴f（x）是以4为周期的周期函数．①对
设1≤x≤3∴-1≤2-x≤1又∵当-1≤x≤1时，f （x）=x³，
∴f（2-x）=（2-x）³=-f（x）∴f （x）=（2-x）³②对
∴f"（x）=-3（2-x）²∴f"（

3

2

）=-

3

4

=k
又∵f(

3

2

)=（2-

3

2

）³=

1

8

∴f （x）在(

3

2

，f(

3

2

))处的切线方程为：y-

1

8

=-

3

4

（x-

3

2

）即：3x+4y-5=0．③对
由f （x-2）=-f （x）=f（-x）知函数图象的一条对称轴为x=-1，又∵f（x）为奇函数，其图象关于y轴对称 
∴f （x）的图象的对称轴中，有x=1，故④对．
故选D．

解析