已知函数f（x）=x2+（3m+1）x+3m（m

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f（x）=x2+（3m+1）x+3m（m＞0）的图象与x轴交于不同的两点A，B且|AB|=2．
（1）求实数m的值；
（2）设g（x）=f（x）-λx，x∈[0，+∞），若g（x）图象上的点都在直线y=1上方，求λ的取值范围．

答案

（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是f（x）=0的两个不同实根，所以△＞0，所以（3m+1）2-12m＞0，所以m≠

1
3

又x1+x2=-（3m+1），x1x2=3m
∴|AB|=|x1-x2|=（x1+x2）2-4x1x2=（3m+1）2-4×3m=4
∴3m2-2m-1=0
∴m=1或m=-
1
3

∵m＞0，
∴m=1；
（2）由（1）知m=1，则f（x）=x2+4x+3，∴g（x）=x2+4x+3-λx
∵x∈[0，+∞），g（x）图象上的点都在直线y=1上方，
∴x2+4x+3-λx＞1在[0，+∞）上恒成立
①当x=0时，λ∈R；
②当x∈（0，+∞）时，λ＜x+
2
x
+4恒成立
∵x∈（0，+∞）时，x+
2
x
≥2

解析

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