题目

已知函数f(x)=

x+b

1+x2

为奇函数．
（I）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
（II）解关于x的不等式f（1+2x²）+f（-x²+2x-4）＞0．

答案

（I）∵函数f(x)=

x+b

1+x2

为定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，即b=0，
∴函数解析式为：f(x)=

x

x2+1

．
∴对f（x）求导数，得f′(x)=

(x2+1)-x•2x

(x2+1)2

=

1-x2

(x2+1)2

．
∵当x＞1时，f′(x)=

1-x2

(x2+1)2

＜0成立，
∴函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数．
（II）由f（1+2x²）+f（-x²+2x-4）＞0，得f（1+2x²）＞-f（-x²+2x-4）．
∵f（x）是奇函数，
∴-f（-x²+2x-4）=f（x²-2x+4）．
原不等式化为：f（1+2x²）＞f（x²-2x+4）．
又∵1+2x²≥1，x²-2x+4=（x-1）²+3＞1，且f（x）在[1，+∞）上为减函数，
∴1+2x²＜x²-2x+4，即x²+2x-3＜0，
解之得-3＜x＜1．
∴不等式f（1+2x²）+f（-x²+2x-4）＞0的解集是{x|-3＜x＜1}

解析