题目

已知函数f（x）满足f(x+1)=

1

f(x)

，且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围是______．

答案

由于f（x+2）=f（x）．∴f（x）是周期为2的函数，
x在[0，1]，f（x）=x 由于f（x）是偶函数，x在[-1，0]，f（x）=-x
f（x）是周期为2的函数 f（2）=f（0）=0 函数解析式：y=-x+2 x在[2，3]时，
函数解析式：y=x-2 g（x）仍为一次函数，有4个零点，
故在四段内各有一个零点．
x在[-1，0），g（x）=-x-kx-k=-（k+1）x-k 令g（x）=0，∴x=-

k

k+1

∴-1≤-

k

k+1

＜0，解得k＞0
x在（0，1]，g（x）=x-kx-k=（1-k）x-k，令g（x）=0，∴x=

k

k+1

∴0＜

k

k+1

≤1 解的0＜k≤

1

2

x在（1，2]，g（x）=-x+2-kx-k=-（k+1）x+2-k，令g（x）=0，∴x=

2-k

k+1

∴1＜

2-k

k+1

≤2，解的0≤k＜

1

2

x在（2，3]，g（x）=x-2-kx-k=（1-k）x-2-k，令g（x）=0，∴x=

k+2

1-k

∴2＜

k+2

1-k

≤3，解的0＜k≤

1

4

综上可知，k的取值范围为：0＜k≤

1

4

故答案为：（0，

1

4

]．

解析