题目

已知函数f(x)=ln2(1+x)-

x2

1+x

.
（I）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若不等式(1+

1

n

)n+a≤e对任意的n∈rmN^*都成立（其中e是自然对数的底数）．求a的最大值．

答案

（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（-1，+∞），f′(x)=

2ln(1+x)

1+x

-

x2+2x

(1+x)2

=

2(1+x)ln(1+x)-x2-2x

(1+x)2

.
设g（x）=2（1+x）ln（1+x）-x²-2x，则g"（x）=2ln（1+x）-2x．
令h（x）=2ln（1+x）-2x，则h′(x)=

2

1+x

-2=

-2x

1+x

.
当-1＜x＜0时，h"（x）＞0，h（x）在（-1，0）上为增函数，
当x＞0时，h"（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上为减函数．
所以h（x）在x=0处取得极大值，而h（0）=0，所以g"（x）＜0（x≠0），
函数g（x）在（-1，+∞）上为减函数．
于是当-1＜x＜0时，g（x）＞g（0）=0，
当x＞0时，g（x）＜g（0）=0．
所以，当-1＜x＜0时，f"（x）＞0，f（x）在（-1，0）上为增函数．
当x＞0时，f"（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上为减函数．
故函数f（x）的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为（0，+∞）．
（Ⅱ）不等式(1+

1

n

)n+a≤e等价于不等式(n+a)ln(1+

1

n

)≤1.
由1+

1

n

＞1知，a≤

1

ln(1+ 1 n )

-n.
设G(x)=

1

ln(1+x)

-

1

x

，x∈(0，1]，
则G′(x)=-

1

(1+x)ln2(1+x)

+

1

x2

=

(1+x)ln2(1+x)-x2

x2(1+x)ln2(1+x)

.
由（Ⅰ）知，ln2(1+x)-

x2

1+x

≤0，即（1+x）ln²（1+x）-x²≤0．
所以G"（x）＜0，x∈（0，1]，于是G（x）在（0，1]上为减函数．
故函数G（x）在（0，1]上的最小值为G(1)=

1

ln2

-1.
所以a的最大值为

1

ln2

-1.

解析