题目

已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f(x+

π

2

)为偶函数，对于函数y=f（x）有下列几种描述，其中描述正确的是（　　）
①y=f（x）是周期函数；②x=π是它的一条对称轴
③（-π，0）是它图象的一个对称中心；④当x=

π

2

时，它一定取最大值

A．①②

B．①③

C．②④

D．②③

答案

证明：由已知可得：
f（-x）=-f（x） …（1）
f（-x-

π

2

）=-f（x+

π

2

）…（2）
f（-x+

π

2

）=f（x+

π

2

）…（3）
由（3）知 函数f（x）有对称轴x=

π

2

由（2）（3）得 f（-x-

π

2

）=-f（-x+

π

2

）；
令z=-x+

π

2

则-x-

π

2

=z-π，
∴f（z-π）=-f（z），
故有f（z-π-π）=-f（z-π），
两者联立得 f（z-2π）=f（z），
可见函数f（x）是周期函数，且周期为2π；
由（1）知：f（-z）=-f（z），代入上式得：f（z-2π）=-f（-z）；
由此式可知：函数f（x）有对称中心（-π，0）
由上证知①③是正确的命题．
故应选B．

解析