题目

设f（x）=ax²+bx+c，若f（1）=

7

2

，问是否存在a、b、c∈R，使得不等式x²+

1

2

≤f（x）≤2x²+2x+

3

2

对一切实数x都成立，证明你的结论．

答案

由f（1）=

7

2

，得a+b+c=

7

2

．令x²+

1

2

=2x²+2x+

3

2

⇒x=-1．
由f（x）≤2x²+2x+

3

2

推得f（-1）≤

3

2

，
由f（x）≥x²+

1

2

推得f（-1）≥

3

2

，
∴f（-1）=

3

2

．
∴a-b+c=

3

2

．故a+c=

5

2

且b=1．
∴f（x）=ax²+x+

5

2

-a．
依题意ax²+x+

5

2

-a≥x²+

1

2

对一切x∈R都成立，
∴a≠1且△=1-4（a-1）（2-a）≤0．
由a-1＞0得a=

3

2

．
∴f（x）=

3

2

x²+x+1．
证明如下：

3

2

x²+x+1-2x²-2x-

3

2

=-

1

2

x²-x-

1

2

=-

1

2

（x+1）²≤0．
∴

3

2

x²+x+1≤2x²+2x+

3

2

对x∈R都成立．
∴存在实数a=

3

2

，b=1，c=1，
使得不等式x²+

1

2

≤f（x）≤2x²+2x+

3

2

对一切x∈R都成立．

解析