题目

若对一切非零实数，已知函数y=f（x）（x≠0），满足f（xy）=f（x）+f（y），
（1）求f（1），f（-1），
（2）判断函数y=f（x）的奇偶性；
（3）若y=f（x），在（0，+∞）上是增函数，且满足y=f(x)+f(x-

1

2

)≤0，求x的取值范围．

答案

（1）∵函数y=f（x）（x≠0），满足f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=1得：f（1）=2f（1），故f（1）=0；
再令x=y=-1得：f（1）=2f（-1）=0，故f（-1）=0；
（2）令y=-1，则f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x）
故f（x）是偶函数；
（3）∵f（x）+f（x-

1

2

）=f[x（x-

1

2

）]≤0，偶函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数，f（-1）=f（1）=0，
∴|x（x-

1

2

）|≤1，
∴-1≤x（x-

1

2

）≤1，
∴

解析 相关题目 若对一切非零实数，已知函数y=f（x）（x≠0 已知f（x）=10x-10-x10x+ 给定函数：①y=x2+x6（x∈R）②y=|x- 若奇函数f（x）=kax-a-x（a＞0且a≠1 下列函数中为偶函数的是（　　）A．y= 下列函数中周期为π且为偶函数的是 若f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（- 设g（x）为R上不恒等于0的奇函数，f(x)=( 已知函数f(x)=1，x＞0 已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数且f 闽ICP备2021017268号-8