已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有f（x）+f（y）=f（

x+y
1+xy
），且当x＜0时，f（x）＞0；
（1）验证函数f（x）=ln
1-x
1+x
是否满足这些条件；
（2）判断这样的函数是否具有奇偶性和其单调性，并加以证明；
（3）若f（-
1
2
）=1，试解方程f（x）=-
1
2
．

答案

（1）由

x+y
1+xy
＞0可得-1＜x＜1，即其定义域为（-1，1），
又f（x）+f（y）=ln
1-x
1+x
+ln
1-y
1+y
=ln（
1-x
1+x
•
1-y
1+y
）
=ln
1-x-y+xy
1+x+y+xy
=ln
1-
x+y
1+xy
1+
x+y
1+xy
=f（
x+y
1+xy
）
又当x＜0时，1-x＞1+x＞0
∴
1-x
1+x
＞1
∴ln
1-x
1+x
＞0
故f（x）=ln
1-x
1+x
满足这些条件．
（2）这样的函数是奇函数．
令x=y=0，
∴f（0）+f（0）=f（0），
∴f（0）=0
令y=-x，
∴f（-x）+f（x）=f（0）=0
∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）在（-1，1）上是奇函数．
这样的函数是减函数．
∵f（x）-f（y）=f（x）-f（y）=f（
x-y
1-xy
）
当-1＜x＜y＜1时，
x-y
1-xy
＜0，由条件知f（
x-y
1-xy
）＞0，即f（x）-f（y）＞0
∴f（x）在（-1，1）上是减函数．
（3）∵f（-
1
2
）=1
∴f（
1
2
）=-1
原方程即为2f（x）=-1
即f（x）+f（x）=f（
2x
1+x2
）=f（
1
2
）
∴f（x）在（-1，1）上是减函数
∴
2x
1+x2
=
1
2

∴x2-4x+1=0
解得x=2±

解析

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