设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x∈[-1，0）时，f(x)=2ax+

1
x2
（a为实数）．
（Ⅰ）求当x∈（0，1]时，f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在（0，1]上是增函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）是否存在a，使得当x∈（0，1]时，f（x）有最大值-6．

答案

（Ⅰ）∵函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，
当x∈[-1，0）时，f(x)=2ax+

1
x2
（a为实数）．
∴当x∈（0，1]时，-x∈[-1，0）．
f(x)=-f(-x)=-(-2ax+
1
x2
)=2ax-
1
x2
…（3分）
（II）∵x∈（0，1]时，f(x)=2ax- 
1
x2
，
∴f′(x)=2a+
2
x3
，
因为f（x）在（0，1]上是增函数，
所以f"（x）≥0在（0，1]上恒成立，
即a≥-
1
x3
在（0，1]上恒成立，
令g(x)=-
1
x3
，x∈(0，1]，
g（x）在（0，1]上是单调增函数，
所以[g（x）]max=g（1）=-1，
所以a≥-1．…（8分）
（Ⅲ）①当a≥-1时，
由（II）知f（x）在（0，1]上是增函数，
所以[f（x）]max=f（1）=-6，
解得a=-
5
2
，与a≥-1矛盾．…（10分）
②当a＜-1时，
令f"（x）=0，x=
3 -
1
a

解析

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