已知函数f（x）=lnx-ax；（I）若a

难度：一般 题型：解答题 来源：济宁一模

题目

已知函数f（x）=lnx-

a
x
；
（I）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；
（II）若f（x）在[1，e]上的最小值为
3
2
，求a的值；
（III）若f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

答案

（I）由题意f（x）的定义域为（0，+∞），且f"（x）=

1
x
+
a
x2
=
x+a
x2
…（2分）
∵a＞0，
∴f"（x）＞0，
故f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数 　　　　 …（4分）
（II）由（I）可知，f′（x）=
x+a
x2
．
（1）若a≥-1，则x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为增函数，
∴[f（x）]min=f（1）=-a=
3
2
，
∴a=-
3
2
（舍去）　…（5分）
（2）若a≤-e，则x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为减函数，
∴[f（x）]min=f（e）=1-
a
e
=
3
2
⇒a=-
e
2
（舍去）…（6分）
（3）若-e＜a＜-1，令f"（x）=0得x=-a，当1＜x＜-a时，f"（x）＜0，
∴f（x）在（1，-a）上为减函数，f（x）在（-a，e）上为增函数，
∴[f（x）]min=f（-a）=ln（-a）+1=
3
2
⇒a=-

解析

相关题目