已知函数f（x）=x4+ax3+2x2+b（x∈

难度：一般 题型：解答题 来源：天津

题目

已知函数f（x）=x4+ax3+2x2+b（x∈R），其中a，b∈R．
（Ⅰ）当a=-

10
3
时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，1]上恒成立，求b的取值范围．

答案

（Ⅰ）f"（x）=4x3+3ax2+4x=x（4x2+3ax+4）．
当a=-

10
3
时，f"（x）=x（4x2-10x+4）=2x（2x-1）（x-2）．
令f"（x）=0，解得x1=0，x2=
1
2
，x3=2．
当x变化时，f"（x），f（x）的变化情况如下表：

魔方格

所以f（x）在(0，
1
2
)，（2，+∞）内是增函数，在（-∞，0），(
1
2
，2)内是减函数．
（Ⅱ）f"（x）=x（4x2+3ax+4），显然x=0不是方程4x2+3ax+4=0的根．
为使f（x）仅在x=0处有极值，必须4x2+3ax+4≥0成立，即有△=9a2-64≤0．
解些不等式，得-
8
3
≤a≤
8
3
．这时，f（0）=b是唯一极值．
因此满足条件的a的取值范围是[-
8
3
，
8
3
]．
（Ⅲ）由条件a∈[-2，2]，可知△=9a2-64＜0，从而4x2+3ax+4＞0恒成立．
当x＜0时，f"（x）＜0；当x＞0时，f"（x）＞0．
因此函数f（x）在[-1，1]上的最大值是f（1）与f（-1）两者中的较大者．
为使对任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，1]上恒成立，
当且仅当

解析

相关题目