f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使|f（

难度：一般 题型：填空题 来源：不详

题目

f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为F函数．现给出下列函数：
①f（x）=2x；
②f（x）=x2+1；
③f(x)=

解析

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闽ICP备2021017268号-8

答案

对于①，f（x）=2x，易知存在M=2＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，符合题意；
对于④，因为|f（x）|=
|x|
x2-x+1
=
|x|
(x-
1
2
)2+
3
4
≤
4
3
|x|，所以存在常数M=
4
3
＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，④是F函数；
对于⑤，f（x）是定义在实数集R上的奇函数，故|f（x）|是偶函数，因而由|f（x1）-f（x2）|≤2|x1-x2|得到，
|f（x）|≤2|x|成立，存在M≥2＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，符合题意．
而对②、③用F函数的定义不难发现：因为x→0时，|
f(x)
x
|→∞，所以不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，它们是不符合题意的
故答案为：①④⑤