题目

已知二次函数.
（1）若，试判断函数零点个数；
（2）是否存在，使同时满足以下条件
①对任意，且；
②对任意,都有。若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。
（3）若对任意且，，试证明存在，
使成立。

答案

（1）函数有两个零点。（2）当时，同时满足条件①、②. （3）利用零点存在性定理证明即可

解析

试题分析：（1） 
当时，
函数有一个零点； 3分
当时，，函数有两个零点。5分
（2）假设存在，由①知抛物线的对称轴为x＝－1，
∴即  7分
由②知对,都有
令得又因为恒成立， 
，即，即
由得， 10分
当时，，
其顶点为（－1，0）满足条件①，又对,
都有，满足条件②.
∴存在，使同时满足条件①、②. .12分
（3）令，则

，

在内必有一个实根。即，
使成立 18分
点评：①二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，也是高考热点，要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式，便是抓住了关键.②二次函数的图像形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据.