题目

已知二次函数y=f₁(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f₂(x)的图象与直线y=x的两个交点间距离为8,f(x)= f₁(x)+ f₂(x).
(Ⅰ) 求函数f(x)的表达式；
(Ⅱ) 证明:当a>3时,关于x的方程f(x)= f(a)有三个实数解.

答案

(Ⅰ) f(x)=x²+.(Ⅱ) f(x)=f(a),得x²+=a²+, 即=－x²+a²+.在同一坐标系内作出f₂(x)=和f₃(x)= －x²+a²+的大致图象,其中f₂(x)的图象是以坐
标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, f₃(x)与的图象是以(0, a²+)为顶点,开口向下的抛物线.因此, f₂(x)与f₃(x)的图象在第三象限有一个交点,即f(x)=f(a)有一个负数解.又∵f₂(2)="4," f₃(2)= －4+a²+，当a>3时,. f₃(2)－f₂(2)= a²+－8>0,当a>3时,在第一象限f₃(x)的图象上存在一点(2,f(2))在f₂(x)图象的上方.f₂(x)与f₃(x)的图象在第一象限有两个交点,即f(x)=f(a)有两个正数解.因此,方程f(x)=f(a)有三个实数解.

解析

试题分析：(Ⅰ)由已知,设f₁(x)=ax²,由f₁(1)=1,得a="1," ∴f₁(x)= x².设f₂(x)=(k>0),它的图象与直线y=x的交点分别为A(,)，B(－,－)
由=8,得k="8,." ∴f₂(x)=.故f(x)=x²+.
(Ⅱ) （证法一）f(x)=f(a),得x²+=a²+,
即=－x²+a²+.在同一坐标系内作出f₂(x)=和
f₃(x)= －x²+a²+的大致图象,其中f₂(x)的图象是以坐
标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, f₃(x)与的图象是以(0, a²+)为顶点,开口向下的抛物线.因此, f₂(x)与f₃(x)的图象在第三象限有一个交点,即f(x)=f(a)有一个负数解.又∵f₂(2)="4," f₃(2)= －4+a²+，当a>3时,. f₃(2)－f₂(2)= a²+－8>0,当a>3时,在第一象限f₃(x)的图象上存在一点(2,f(2))在f₂(x)图象的上方.f₂(x)与f₃(x)的图象在第一象限有两个交点,即f(x)=f(a)有两个正数解.因此,方程f(x)=f(a)有三个实数解.
（证法二）由f(x)=f(a),得x²+=a²+,即(x－a)(x+a－)=0,得方程的一个解x₁=a.方程x+a－=0化为ax²+a²x－8=0,由a>3,△=a⁴+32a>0,得x₂=, x₃=,x₂<0, x₃>0, ∵x₁≠ x₂,且x₂≠ x₃.若x₁= x₃,即a=,则3a²=, a⁴=4a,得a=0或a=,这与a>3矛盾,∴x₁≠ x₃.故原方程f(x)=f(a)有三个实数解.
点评：函数与方程是高中数学重要的数学思想， 将函数问题转化为方程问题求解，可以使函数中好多问题变得比较好解决