题目

(本题满分12分)二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.
(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求a的取值范围．

答案

(1) f(x)＝2x²－4x＋3.(2) 0<a<.

解析

本试题主要是考查了二次函数的性质和解析式的求解，以及函数单调性的综合运用。
现根据已知条件，得到对称轴x=1，然后∵f(x)最小值为1，∴可设f(x)＝a(x－1)²＋1　(a>0)，根据已知的函数f(0)＝f(2)＝3.，得到a=2,进而得到解析式，并利用对称轴来判定参数的取值范围。
解：(1)∵f(x)为二次函数且f(0)＝f(2)，∴对称轴为x＝1.
又∵f(x)最小值为1，∴可设f(x)＝a(x－1)²＋1　(a>0)
∵f(0)＝3，∴a＝2，∴f(x)＝2(x－1)²＋1，即f(x)＝2x²－4x＋3.
(2)由条件知2a<1<a＋1，∴0<a<.