题目

（本小题满分14分）
已知函数．
（1）求函数的最小值；
（2）证明：对任意恒成立；
（3）对于函数图象上的不同两点，如果在函数图象上存在点（其中）使得点处的切线，则称直线存在“伴侣切线”．特别地，当时，又称直线存在 “中值伴侣切线”．试问：当时，对于函数图象上不同两点、，直线是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．

答案

解：（1）；（2）见解析；（3）函数f(x)不存在“中值伴侣切线”

解析

第一问中 


第二问
令，
结合导数来判定。
第三问中，当时，，，假设函数存在“中值伴侣切线”. 
设,是曲线上的不同两点，且
则，. 故直线AB的斜率：


曲线在点处的切线斜率：
=
依题意可得。
解：（1） …………1分

……………………………………2分
……………………………4分
（2）
令，………………6分
因为,显然，所以在上递增,
显然有恒成立.（当且仅当x=1时等号成立），即证． ………8分
（3）当时，，，假设函数存在“中值伴侣切线”. 
设,是曲线上的不同两点，且
则，. 故直线AB的斜率：

 …………………………………………………………10分
曲线在点处的切线斜率：
=…………………………………………11分
依题意得：
化简可得：， 即=. …………12分 
设 ()，上式化为,由（2）知时，恒成立.
所以在内不存在t,使得成立.
综上所述，假设不成立.所以，函数f(x)不存在“中值伴侣切线” ………………14分