题目

（本题满分14分）
已知函数，其中.定义数列如下：，.
（I）当时，求的值；
（II）是否存在实数m，使构成公差不为0的等差数列？若存在，请求出实数的值，若不存在，请说明理由；
（III）求证：当时，总能找到，使得.

答案

(1) ，，.
(2) 
(3) 略

解析

解：（Ｉ）因为，，所以，
，.…………4分
（II）方法一：假设存在实数，使得构成公差不为0的等差数列.
由（I）得到，，
.因为成等差数列，
所以，…………6分
所以，，化简得，
解得（舍）,. …………8分
经检验，此时的公差不为0，
所以存在，使构成公差不为0的等差数列. …………9分
方法二：因为成等差数列，
所以，…………6分
即，
所以，即.
因为，所以解得. …………8分
经检验，此时的公差不为0.
所以存在，使构成公差不为0的等差数列. …………9分
（III）因为,
又 , 所以令.
由，
，
……
，将上述不等式全部相加得，即，
因此只需取正整数，就有.………14分