题目
轴上的椭圆
的离心率为
，椭圆上异于长轴顶点的任意点
与左右两焦点
、
构成的三角形中面积的最大值为
.（1）求椭圆
的标准方程；（2）已知点
，连接
与椭圆的另一交点记为
，若与椭圆相切时、不重合，连接
与椭圆的另一交点记为
，求
的取值范围.
答案
；（2）
.
解析
试题分析：（1）先利用已知条件列举出有关
、
、
的方程组，结合三者之间满足的勾股关系求出、、的值，从而确定椭圆的方程；（2）设直线与的方程分别为
以及
，将两条直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理得到点与点
之间的关系（关于
轴对称），从而得到两点坐标之间的关系，最后将利用点的坐标进行表示，注意到坐标的取值范围，然后利用二次函数求出的取值范围.（1）由题可知：
，
，解得：
，
，
，故椭圆
的方程为：；（2）不妨设
、
、
，由题意可知直线
的斜率是存在的，故设直线的斜率为
，直线的斜率为
的方程为： 代入椭圆方程，得
，
，将
，
代入解得：
，的方程为：代入椭圆方程，得
，
，将
，，代入解得：
，
，又
、不重合，
，
，
.