题目

设f(x)=x²–2ax+2,当x∈［–1,+∞)时，f(x)＞a恒成立，求a的取值范围

答案

a∈(–3,1

解析

解法一:由f(x)＞a，在［–1,+∞)上恒成立
x²–2ax+2–a＞0在［–1,+∞)上恒成立.
考查函数g(x)=x²–2ax+2–a的图像在［–1,+∞］时位于x轴上方. 如图两种情况:

不等式的成立条件是:
(1)Δ=4a²–4(2–a)＜0a∈(–2,1)
(2)a∈(–3,–2，
综上所述a∈(–3,1).
解法二:由f(x)＞ax²+2＞a(2x+1)
令y₁=x²+2,y₂=a(2x+1),在同一坐标系中作出两个函数的图像.
如图满足条件的直线l位于l₁与l₂之间，而直线l₁、l₂对应的a值（即直线的斜率）分别为1，–3，故直线l对应的a∈(–3,1).