题目

已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）若在区间上是单调递减函数，求实数的取值范围.

答案

（Ⅰ）单调递减区间是 ；单调递增区间是.极小值是 
（Ⅱ）的最小值为的取值范围是.

解析

试题分析：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）.
当时，2分
当变化时，的变化情况如下：

	-	0	+
		极小值

的单调递减区间是 ；单调递增区间是.
极小值是6分
（Ⅱ）由，得 8分
又函数为上的单调减函数.
则在上恒成立， 所以不等式在上恒成立，
即在上恒成立.10分
设，显然在上为减函数，
所以的最小值为的取值范围是. 12分
点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。通过研究函数的单调区间、最值情况，得到证明不等式。恒成立问题，往往要转化成函数最值求法。本题涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。