题目

已知函数，（其中实数,是自然对数的底数）．
（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；
（Ⅱ）求在区间上的最小值；
(Ⅲ) 若存在，使方程成立，求实数的取值范围.

答案

(1)  
(2) 时，在区间上，，为增函数，所以 
当时,
(3)

解析

试题分析：解：（Ⅰ）当时，┈┈1分
故切线的斜率为， ┈┈┈┈ 2分
所以切线方程为：，即. ┈┈┈┈ 3分
（Ⅱ），
令，得  4分
① 时，在区间上，，为增函数，
所以  5分
②当时，在区间上，为减函数，  6分
在区间上，为增函数，  7分
所以  8分
(Ⅲ) 由可得
，  9分
令，
  10分

	单调递减	极小值（最小值）	单调递增

12分
，，
┈┈┈┈ 13分
实数的取值范围为┈┈┈┈ 14分
点评：解决的关键是对于导数的符号与函数单调性关系的运用，以及结合极值的概念得到最值，属于中档题