题目

（本小题满分13分）
已知R，函数．
（1）求的单调区间；
（2）证明：当时，．

答案

（1）当时，恒成立，此时的单调区间为 
当时，，此时的单调递增区间为和，
单调递减区间为
（2）构造函数，利用放缩法的思想来求证不等式的成立。

解析

试题分析：解：（1）由题意得 ………2分
当时，恒成立，此时的单调区间为 ……4分
当时，，
此时的单调递增区间为和，
单调递减区间为 ……………6分
(2)证明：由于，所以当时，
 …………8分
当时，……10分
设，则，
于是随的变化情况如下表：

	0				1
			0
	1	减	极小值	增	1

所以， …………12分
所以，当时，，
故 …………13分
（2）另解：由于，所以当时，．
令，则．
当时，在上递增， ………8分
当时，，在上递减，在上递增，所以．
故当时， ………10分
当时，．
设，则，
③当时，在上递减， ……11分
④当时，在上递减，在上递增，所以
．
故当时，．
故 …………13分
点评：对于含有参数的函数的单调区间的求解，这一点是高考的重点，同时对于参数的分类讨论思想，这是解决这类问题的难点，而分类的标准一般要考虑到函数的定义域对于参数的制约，进而分析得到。而不等式的恒成立问题，常常转化为分离参数 思想，求解函数的最值来完成。属于难度题。