题目

（本题13分）已知函数。
（Ⅰ）若，试判断并证明的单调性；
（Ⅱ）若函数在上单调，且存在使成立，求的取值范围；
（Ⅲ）当时，求函数的最大值的表达式。

答案

（Ⅰ）用定义证明函数的单调性；（Ⅱ）；（Ⅲ）。

解析

试题分析：（Ⅰ）当时，在上单调递增 1分
证明：  1分
则
2分
，在上单调递增。
（Ⅱ）当时，
由于
则

则当时，，单调增；
当时，，单调减。
所以，当时，在上单调增；  2分
又存在使成立
所以。  2分
综上，的取值范围为。
（Ⅲ）当时，
由（Ⅰ）知在区间上单调递增，  1分
由（Ⅱ）知，①当时，在上单调增，
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
又因为在上是连续函数
所以，①当时，在上单调增，则；
②当时，在上单调增，在上单调减，在上单调增，
2分
则 
综上，的最大值的表达式。 2分
点评：解决恒成立问题常用变量分离法，变量分离法主要通过两个基本思想解决恒成立问题， 思路1：在上恒成立；思路2: 在上恒成立。注意恒成立问题与存在性问题的区别。