题目

（本小题满分16分）
已知函数是偶函数.
（1）求的值；
（2）设函数，其中若函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围.

答案

（1）；（2）。

解析

本试题主要是考查了函数的奇偶性和函数与方程的综合运用。
（1）∵是偶函数，∴对任意，恒成立即：恒成立，∴
（2）由于，所以定义域为，
也就是满足∵函数与的图象有且只有一个交点，
∴方程在上只有一解
即：方程在上只有一解，结合指数函数构造二次函数求解得到。
解：（1）∵是偶函数，
∴对任意，恒成立  2分
即：恒成立，∴ 5分
（2）由于，所以定义域为，
也就是满足  7分
∵函数与的图象有且只有一个交点，
∴方程在上只有一解
即：方程在上只有一解  9分
令则，因而等价于关于的方程
（*）在上只有一解  10分
① 当时，解得，不合题意；  11分
② 当时，记，其图象的对称轴
∴函数在上递减，而
∴方程（*）在无解 13分
③ 当时，记，其图象的对称轴
所以，只需，即，此恒成立
∴此时的范围为  15分
综上所述，所求的取值范围为 16分