题目

（本小题满分12分）
已知函数满足对一切都有,且,
当时有.
(1)求的值;
(2)判断并证明函数在上的单调性;
(3)解不等式:.

答案

⑴在上是减函数. ⑶.

解析

本试题主要是考查了抽象函数的赋值思想的运用，以及单调性证明和不等式的求解综合运用。
（1）令,得, 再令,得 ,即,从而 
（2）按照定义法，任取
得到证明。
（3）由条件知,,
设,则,即,
整理,得
又因为在上是减函数,,即可知结论。
解:⑴令,得 ,
再令,得 ,
即,从而 .  ……………………………2分
⑵任取
……………………………3分
.  ………………………4分
,即.
在上是减函数.  ……………………………6分
⑶由条件知,,
设,则,即,
整理,得,  ……………………………8分
而,不等式即为,
又因为在上是减函数,,即,  …………………10分
,从而所求不等式的解集为. …………12分