题目

（16分）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．
（1）当时，求函数的解析式；
（2）若函数为单调递减函数；
①直接写出的范围（不必证明）；
②若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围．

答案

（1） ；（2）。

解析

本试题主要是考查了抽象函数的解析式的求解和单调性的证明以及解不等式。
（1）因为当时，，又因为为奇函数，所以，进而得到解析式。
（2）根据函数单调性，对于参数a分为正负来讨论得到取值范围。
（3）因为，∴
所以是奇函数，∴，而又因为为上的单调递减函数，所以恒成立，分离参数的思想得到范围。
（1）当时，，又因为为奇函数，
所以
所以…………………………6分
（2）①当时，对称轴，所以在上单调递减，
由于奇函数关于原点对称的区间上单调性相同，所以在上单调递减，
又在上，在上，
所以当a0时，为R上的单调递减函数
当a>0时，在上递增，在上递减，不合题意
所以函数为单调函数时，a的范围为a………………………………………….10分
②因为，∴
所以是奇函数，∴ …………………………12分
又因为为上的单调递减函数，所以恒成立，…………………14分
所以恒成立， 所以 …………………………16分