题目

(满分14分）设函数.
(1)求的单调区间;
(2)若当时,(其中不等式恒成立,求实数m的取值范围;
(3)试讨论关于x的方程:在区间[0,2]上的根的个数.

答案

(1)增区间为,减区间为.
(2)时,不等式恒成立.
(3)时,方程无解;
或时,方程有唯一解;
时,方程有两个不等的解.

解析

(1)直接利用导数大（小）于零，求其单调增（减）区间即可.
(2)利用导数求f(x)的最大值，则.
(3)即
然后令,再利用导数确定g(x)的单调区间和极值，画出草图，观察直线y=a在什么范围变化时，它与y=g(x)有不同的交点.
(1)函数的定义域为.……… 1分
由得;  ……… 2分
由得, ………3分
则增区间为,减区间为.………4分
(2)令得,
由(1)知在上递减,在上递增,………6分
由,且, ……… 8分
时, 的最大值为,
故时,不等式恒成立.………9分
(3)方程即.记,则
.由得;由得.
所以在上递减;在上递增.
而, ………10分
所以,当时,方程无解;
当时，方程有一个解;
当时,方程有两个解;
当时,方程有一个解;
当时,方程无解. ………13分
综上所述,时,方程无解;
或时,方程有唯一解;
时,方程有两个不等的解. ………14分