题目

定义：若函数在某一区间D上任取两个实数、，且，都有，则称函数在区间D上具有性质L。
（1）写出一个在其定义域上具有性质L的对数函数（不要求证明）。
（2）对于函数，判断其在区间上是否具有性质L？并用所给定义证明你的结论。
（3）若函数在区间（0，1）上具有性质L，求实数的取值范围。

答案

（1）（2）有，证明见解析（3）

解析

本题以函数为载体，考查新定义，考查恒成立问题，解题的关键是对新定义的理解，恒成立问题采用分离参数法．
（1）写出的函数是下凹的函数即可；
（2）函数在区间上具有性质L，运用定义法加以证明即可。
（3）任取x1、x2∈（0，1），且x1≠x2则＞0，只需要在x₁、x₂∈（0，1）上恒成立，故可求实数a的取值范围．
解：（1）（或其它底在（0，1）上的对数函数）。…………2分
（2）函数在区间上具有性质L。…………3分
证明：任取、，且
则

、且，，
即>0，
所以函数在区间上具有性质L。……………7分
（3）任取、，且
则

、且，，
要使上式大于零，必须在、上恒成立，
即，，即实数的取值范围为……………12分