题目

已知．
（１）求的单调区间；
（２）证明：当时，恒成立；
（３）任取两个不相等的正数，且，若存在使成立，证明：．

答案

见解析

解析

（1）g(x)=lnx+，=（1’）
当k0时，>0，所以函数g(x)的增区间为（0，+），无减区间；
当k>0时，>0,得x>k；<0，得0<x<k∴增区间（k,+）减区间为（0，k）（3’）
(2)设h(x)=xlnx-2x+e(x1)令= lnx-1=0得x="e," 当x变化时，h(x),的变化情况如表

x	1	(1,e)	e	(e,+)
		－	0	+
h(x)	e－2	↘	0	↗

所以h(x)0, ∴f(x)2x-e （5’）
设G(x)=lnx-(x1) ==0,当且仅当x=1时,=0所以G(x) 为减函数, 所以G(x)  G(1)="0," 所以lnx-0所以xlnx(x1)成立,所以f(x) ,综上,当x1时, 2x-ef(x)恒成立.
(3) ∵=lnx+1∴lnx₀+1==∴lnx₀=-1
∴lnx₀–lnx=-1–lnx===(10’)
设H(t)=lnt+1-t(0<t<1), ==>0(0<t<1), 所以H(t) 在(0,1)上是增函数,并且H(t)在t=1处有意义, 所以H(t) <H(1)=0∵∴=
∴lnx0 –lnx>0, ∴x₀>x