题目

设函数
（I）设；
（II）求的单调区间；
（III）当恒成立，求实数t的取值范围。

答案

(I)  (II)当时，函数的减区间为，无增区间，
当时，函数的减区间为，增区间为．(III) 即为所求．

解析

(I)先求出g(x)的表达式，
然后再利用积分公式求积分即可。
(II)先求出f(x)的导函数,
然后分a=0,a>0,a<0三种情况进行讨论求其单调区间。
(III)由（II）得,
因为a>0,所以,
然后把看作整体x,再构造,求其最大值，让m(x)的最大值小于零即可
(I)
…………1分
当时，， .…………2分

.…………4分
(II)，…………5分
当时，，
所以函数的减区间为，无增区间；…………6分
当时，，
若，由得，由得， 
所以函数的减区间为，增区间为；…………7分
若，此时，所以，
所以函数的减区间为，无增区间； …………8分
综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间，
当时，函数的减区间为，增区间为．…………9分
(III) 由(II)得，，…………10分
因为，所以，
令，则恒成立，
由于，
①当时，，故函数在上是减函数，所以成立； 
②当时，若得，故函数在上是增函数，
即对，，与题意不符；
综上所述，可以知道，即为所求