题目

（本题12分）已知集合是同时满足下列两个性质的函数组成的集合：
①在其定义域上是单调增函数或单调减函数；
②在的定义域内存在区间，使得在上的值域是．
(1)判断函数是否属于集合？并说明理由．若是，则请求出区间；
(2)若函数，求实数的取值范围．

答案

（1）函数属于集合，且这个区间是
（2）

解析

解： (1)的定义域是， 在上是单调增函数．
设在上的值域是．由 解得：
故函数属于集合，且这个区间是

(2) 设，则易知是定义域上的增函数．
 ，存在区间，满足，．
即方程在内有两个不等实根．
[法1]：方程在内有两个不等实根，令则其化为:
即有两个非负的不等实根,
从而有:；
[法2]：要使方程在内有两个不等实根，
即使方程在内有两个不等实根．
如图，当直线经过点时，，
当直线与曲线相切时，
方程两边平方，
得，由，得．
因此，利用数形结合得实数的取值范围是．