题目

（本小题满分14分）
已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
（2）设当时，若对任意，存在，使恒成立，求实数取值范围.

答案

（1）
当时，函数f(x)在（0,1）上单调递减；
函数f(x)在（1,）上单调递增；
当时，函数f(x)在（0,1）上单调递减；
函数f(x)在（1,）上单调递减；
当时，函数f(x)在（0,1）上单调递增；
函数f(x)在（1,）上单调递减；
（2）

解析

解：（Ⅰ）因为，
所以 ， 
令 ，
（1）当a=0时h(x)="-x+1,"
所以 当时，h(x)＞0，此时，函数f(x)单调递减；
当时，h(x)＞0，此时，函数f(x)单调递增
（2）当时，，
即，解得，
当时，恒成立，
此时，函数 在上单调递减；
②当，
时，，此时，函数单调递减；
时，此时，函数 单调递增；
时，，此时，函数单调递减；
③当时，由于，
，,此时，函数 单调递减；
时，，此时，函数单调递增.
综上所述：
当时，函数f(x)在（0,1）上单调递减；
函数f(x)在（1,）上单调递增；
当时，函数f(x)在（0,1）上单调递减；
函数f(x)在（1,）上单调递减；
当时，函数f(x)在（0,1）上单调递增；
函数f(x)在（1,）上单调递减；
（Ⅱ）因为a=，由（Ⅰ）知，=1，=3，当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以在（0，2）上的最小值为。
由于“对任意，存在，使”等价于
“在上的最小值不大于在（0,2）上的最小值”（*）
又=，，所以
①当时，因为，此时与（*）矛盾
②当时，因为，同样与（*）矛盾
③当时，因为，解不等式8-4b，可得
综上，b的取值范围是