题目

已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－)=0,当x>－时，f(x)>0.
(1)求证:f(x)是单调递增函数；
(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.

答案

(1)证明略，(2)f(x)=2x+1

解析

设x₁＜x₂,则x₂－x₁－>－,由题意f(x₂－x₁－)>0,
∵f(x₂)－f(x₁)=f［(x₂－x₁)+x₁］－f(x₁)=f(x₂－x₁)+f(x₁)－1－f(x₁)
=f(x₂－x₁)－1=f(x₂－x₁)+f(－)－1=f［(x₂－x₁)－］>0,
∴f(x)是单调递增函数.
(2)解: f(x)=2x+1。 验证过程略.