题目

已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、．
（1）求证：为关于的方程的两根；
（2）设，求函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，若在区间内总存在个实数（可以相同），使得不等，则m的最大值，为正整数

答案

，的最大值为.

解析

解：（1）由题意可知：
∵，
∴切线的方程为：，
又切线过点，有，
即， ① 　
同理，由切线也过点，得．②
由①、②，可得是方程（ * ）的两根
（2）由（ * ）知.
，
∴ ．
（3）易知在区间上为增函数，
， 
则．
即，即，
所以，由于为正整数，所以.
又当时，存在，满足条件，
所以的最大值为.