题目

已知函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，函数的解析式为f(x)=

2

x

-1．
（1）求f（-1），f（0）的值；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性并证明．

答案

（1）∵函数f（x）是R上的奇函数，
∴f（0）=0，f（-1）=-f（1）．
∵当x＞0时，函数的解析式为f(x)=

2

x

-1．
∴f（-1）=-f（1）=-（2-1）=-1．
（2）设0＜x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=

2(x2-x1)

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，
∴f(x1)-f(x2)=

2(x2-x1)

x1x2

＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上的单调递减，是减函数．

解析