题目

已知函数f(x)=

1

1+x2

．
（1）求证：函数f（x）在（-∞，0]上是增函数．
（2）求函数f(x)=

1

1+x2

在[-3，2]上的最大值与最小值．

答案

（1）证明：设x₁＜x₂≤0，则f(

x

1

)-f(x2)=

(x2+x1)(x2-x1)

(1+ x 21 )(1+ x 22 )

因x₁＜x₂＜0，有x₁+x₂＜0，x₂-x₁＞0，又（1+x₁²）（1+x₂²）＞0
所以

(x2+x1)(x2-x1)

(1+ x 21 )(1+ x 22 )

＜0，得f（x₁）-f（x₂）＜0
故f（x）为（-∞，0]上的增函数．
（2）因为函数f（x）定义域为R，且f（-x）=f（x），
所以函数f（x）为偶函数
又f（x）在（-∞，0]上为增函数，
所以f（x）在[0，+∞）上为减函数
所以函数的最大值为f（0）=1．
又当x=-3时，f(-3)=

1

10

，当x=2时，f(2)=

1

5

，
故函数的最小值为f(-3)=

1

10

．

解析