题目

函数f（x）对任意a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，当x＞0时，f（x）＞1．
（1）求证：f（x）在R上是增函数．
（2）若f（4）=5，解不等式．f（3m²-4）＜3．
（3）若f（m²+m-5）＜2的解集是m∈（-3，2），求f（6）的值．

答案

（1）证明：∀实数x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，∵当x＞0时，f（x）＞1，∴f（x₂-x₁）＞1．
又∵函数f（x）对任意a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，
∴f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1＞1+f（x₁）-1=f（x₁）．
∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴f（x）在R上是增函数．
（2）令a=b=2，则f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，解得f（2）=3．
不等式f（3m²-4）＜3．化为f（3m²-4）＜f（2）．
由（1）可得：f（x）在R上是增函数．
∴3m²-4＜2，化为m²＜2，解得-