题目

．对于定义域和值域均为[0，1]的函数f（x），定义f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x）），，…，f_n（x）=f（f_n-1（x）），n=1，2，3，…．满足f_n（x）=x的点x∈[0，1]称为f的n阶周期点．设f（x）=，则f的n阶周期点的个数是（　　）

A．2n

B．2（2n-1）

C．2n

D．2n2

答案

C

解析

解：当x∈[0，]时，f₁（x）=2x=x，解得x=0
当x∈（ ，1]时，f₁（x）=2-2x=x，解得x=
∴f的1阶周期点的个数是2
当x∈[0，]时，f₁（x）=2x，f₂（x）=4x=x解得x=0
当x∈（ ， ]时，f₁（x）=2x，f₂（x）=2-4x=x解得x=
当x∈（ ， ]时，f₁（x）=2-2x，f₂（x）=-2+4x=x解得x=
当x∈（ ，1]时，f₁（x）=2-2x，f₂（x）=4-4x=x解得x=
∴f的2阶周期点的个数是2²
依次类推
∴f的n阶周期点的个数是2ⁿ
故选C．