题目

（本小题满分14分）
已知函数 ，．
（Ⅰ）当  时，求函数  的最小值；
（Ⅱ）当  时，讨论函数  的单调性；
（Ⅲ）求证：当 时，对任意的 ，且，有．

答案

解：（Ⅰ）显然函数的定义域为，当．
∴ 当，．
∴在时取得最小值，其最小值为 ．----------------------------- 4分
（Ⅱ）∵，-----------5分
∴（1）当时，若为增函数；
为减函数；为增函数．
（2）当时，为增函数；
为减函数；为增函数．------- 9分
（Ⅲ）不妨设，要证明，即证明：
当时，函数．
考查函数-------------------------------------------------10分

在上是增函数，----------------------------------------------------12分
对任意，
所以，命题得证----------14分

解析

略