题目

已知函数f(x)=x

1-a

3

的定义域是非零实数，且在（-∞，0）上是增函数，在（0，+∞）上是减函数，则最小的自然数a等于______．

答案

对函数求导，得f′(x)=

1-a

3

x

-a-2

3

，
又在（-∞，0）上是增函数，
f′(x)=

1-a

3

x

-a-2

3

＜0
（1）当

-a-2

3

≥1，则必须为奇数（否则为减函数），
则x

-2-a

3

＞0，可得

1-a

3

＞0，
得a≤-5，不符合题意，舍去．
（2）当1＞

-a-2

3

＞0，则-2＞a＞-5，不符合舍去．
（3）当

-a-2

3

＜0时，必须符合-a-2为负奇数
x

-2-a

3

＜0，则

1-a

3

＜0解得a＞1
故答案为：3．

解析