已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x1，x2

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x1，x2都满足．
（I）判断f（x）的单调性和奇偶性；
（II）是否存在这样的实数m，当θ∈[，

π
2
]时，不等式f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-
4
sinθ+cosθ
]+f(3+2m)＞0
对所有θ恒成立，如存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

答案

（I）令x=y=0，有f（0）=0，令x1=x，x2=-x，
有f（-x）+f（x）=f（x-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数．（2分）
在R上任取x1＜x2，则x1-x2＜0，
由题意知f（x1-x2）＜0，
则f（x1-x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1）-f（x2）＜0，
故f（x）是增函数（6分）
（II）要使f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-

4
sinθ+cosθ
]+f(3+2m)＞0，
只须f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-
4
sinθ+cosθ
]＞-f（3+2m）=f（-3-2m）
又由f（x）为单调增函数有sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-
4
sinθ+cosθ
＞-3-2m（8分）
令t=sinθ+cosθ，则sin2θ=t2-1，∵θ∈[0，
π
2
]，∴t=

解析

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