题目

已知函数f(x)=log9(9x+1)+kx(k∈R)是偶函数．
（1）求k的值
（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=

1

2

x+b没有交点，求实数b的取值范围．

答案

（1）因为y=f（x）为偶函数，
所以∀x∈R，f（-x）=f（-x），
即log₉（9^-x+1）-kx=log₉（9^x+1）+kx对于∀x∈R恒成立．
即2kx=log9(9-x+1)-log9(9x+1)=log9

9x+1

9x

-log9(9x+1)=-x恒成立
∴（2k+1）x=0恒成立，
∵x不恒为零，
∴k=-

1

2

．
（2）由题意知方程log9(9x+1)-

1

2

x=

1

2

x+b，即方程log₉（9^x+1）-x=b无解．
令g（x）=log₉（9^x+1）-x，则函数y=g（x）的图象与直线y=b无交点．
因为g(x)=log9

9x+1

9x

=log9(1+

1

9x

)
任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，则0＜9x1＜9x2，从而

1

9x1

＞

1

9x2

．
于是log9(1+

1

9x1

)＞log9(1+

1

9x2

)，即g（x₁）＞g（x₂），
所以g（x）在（-∞，+∞）是单调减函数．
因为1+

1

9x

＞1，所以g(x)=log9(1+

1

9x

)＞0．
所以b的取值范围是（-∞，0]．

解析