题目

已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log_a（1-a^x）．
（1）求函数f（x）的定义域，并判断f（x）的单调性；
（2）若n∈N⁺，求

lim

n→∞

af(n)

an+a

．

答案

（1）∵函数f（x）=log_a（1-a^x），∴1-a^x＞0，∴a^x ＜1．
当 a＞1时，由a^x ＜1解得 x＜0，定义域为（-∞，0）．
此时，由于1-a^x 是（-∞，0）上的减函数，故函数f（x）=log_a（1-a^x）是减函数．
当0＜a＜1时，由a^x ＜1解得 x＞0，定义域为（0，+∞）．
此时，由于1-a^x 是（-∞，0）上的增函数，故函数f（x）=log_a（1-a^x）是减函数．
（2）若n∈N⁺，因为f（n）=log_a（1-aⁿ），所以a^f（n）=1-aⁿ，由函数定义域知1-aⁿ＞0，
因为n是正整数，故0＜a＜1，
∴

lim

n→∞

af(n)

an+a

=

lim

n→∞

1-an

an+a

=

1

a

．

解析