题目

已知函数f（x）=λ•2^x-4^x的定义域为[0，1]．
（1）若函数f（x）在[0，1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围；
（2）若函数f（x）的最大值为

1

2

，求实数λ的值．

答案

（1）设2^x=t，
∵函数f（x）=λ•2^x-4^x=-（2^x）²+λ•2^x定义域为[0，1]，
∴2^x∈[1，2]，y=-t²+λt，t∈[1.2]，
∵函数f（x）在[0，1]上是单调递减函数，
∴y=-t²+λt在[1.2]是减函数，
∴t=

λ

2

≤1，解得λ≤2，
∴实数λ的取值范围是（-∞，2]．
（2）∵函数f（x）=λ•2^x-4^x的定义域为[0，1]，最大值为

1

2

，
由（1）知，y=-t²+λt=-（t-

λ

2

）²+

λ2

4

，t∈[1.2]，
∴对称轴方程为t=

λ

2

，
①当

λ

2

＜1时，y=-（t-

λ

2

）²+

λ2

4

在[1.2]是减函数，
∴当t=1时，y取最大值ymax=-(1-

λ

2

)2+

λ2

4

=

1

2

，解得λ=

3

2

．
②当1≤

λ

2

≤2时，当t=

λ

2

时，y取最大值y_max=-（

λ

2

-

λ

2

）²+

λ2

4

=

1

2

，解得λ=±

解析 相关题目 已知函数f（x）=λ•2x-4x的定义域为[0 奇函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，且f（- 已知函数f（x）=lg（x2+tx+1），（t为 若f(x)=x2+2x-3， 设实数x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且 设函数f（n）=k（其中n∈N*），k是 设函数f（x）=1n（2-3x）5，则f′(1 已知函数f（x）=x2+1， 函数f(x)=ax，(x≥0 已知函数f(x)=2x2x-1+21-x 闽ICP备2021017268号-8