已知函数f（x）=lg（x2+tx+1），（t为

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f（x）=lg（x2+tx+1），（t为常数，且t＞-2）
（1）当x∈[0，2]时，求f（x）的最小值（用t表示）；
（2）是否存在不同的实数a，b，使得f（a）=lga，f（b）=lgb，并且a，b∈（0，2），若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．

答案

（1）令g（x）=x2+tx+1，对称轴方程为x=-

t
2
，
∵x∈[0，2]，∴由对称轴x=-
t
2
与区间[0，2]的位置关系进行分类讨论：
①当-
t
2
≤0，即t≥0时，g（x）min=g（0）=1，∴f（x）min=0．
②当0＜-
t
2
＜2，即-4＜t＜0时，g（x）min=g（-
t
2
）=1-
t2
4
，
考虑到g（x）＞0，所以-2＜t＜0，f（x）min=f（-
t
2
）=lg（1-
t2
4
）；
③当-
t
2
≥2，即t≤-4时，g（x）min=g（2）=5+2t，
考虑到g（x）＞0，∴f（x）没有最小值．
综上所述：当t≤-2时f（x）没有最小值；
当t＞-2时，f（x）min=

解析

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