已知函数f（x）=loga1-mxx-1（

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f（x）=loga

1-mx
x-1
（a＞0，a≠1）的图象关于原点对称．
（1）求m的值；
（2）判断函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性并加以证明；
（3）当a＞1，x∈（t，a）时，f（x）的值域是（1，+∞）求a与t的值．

答案

（1）因为函数f（x）=loga

1-mx
x-1
（a＞0，a≠1）的图象关于原点对称，
即f（x）为奇函数，则f（-x）+f（x）=0，
loga
1+mx
-x-1
+loga
1-mx
x-1
=loga
(1-mx)(1+mx)
(-x-1)(x-1)
=0，
即
(1-mx)(1+mx)
(-x-1)(x-1)
=1，
解可得，m=1或m=-1，
当m=1时，
1-mx
x-1
=-1＜0，不合题意，舍去；
当m=-1时，
1-mx
x-1
=
1+x
x-1
，符合题意，
故m=-1；
（2）当0＜a＜1时，loga
(x2+1)(x1-1)
(x2-1)(x1+1)
＞0，即f（x2）-f（x1）＞0，此时f（x）为增函数，当a＞1时，loga
(x2+1)(x1-1)
(x2-1)(x1+1)
＜0，即f（x2）-f（x1）＜0，此时f（x）为减函数，证明如下
由（1）得m=-1，则f（x）=loga
1+x
x-1
，
任取1＜x1＜x2，
则f（x2）-f（x1）=loga
1+x2
x2-1
-loga
1+x1
x1-1
=loga
(x2+1)(x1-1)
(x2-1)(x1+1)
，
又由1＜x1＜x2，则0＜
(x2+1)(x1-1)
(x2-1)(x1+1)
＜1，
当0＜a＜1时，loga
(x2+1)(x1-1)
(x2-1)(x1+1)
＞0，即f（x2）-f（x1）＞0，此时f（x）为增函数，
当a＞1时，loga
(x2+1)(x1-1)
(x2-1)(x1+1)
＜0，即f（x2）-f（x1）＜0，此时f（x）为减函数，
（3）由（1）知，f（x）=loga
1+x
x-1
，
1+x
x-1
＞0，解可得，x＞1或x＜-1，
则f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），
故（t，a）必然含于（-∞，-1）或（1，+∞），
由a＞1，可知（t，a）⊆（∞，-1）不成立，则必有（t，a）⊆（1，+∞），
此时，f（x）的值域为（1，+∞），又由函数f（x）为减函数，
必有f（a）=1且
t+1
t-1
=0；
解可得，t=-1，a=1+

解析

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