题目

若函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x）•f（x+2）=-1，f（1）=-5，则f[f（5）]=______．

答案

解法一：∵f（x）•f（x+2）=-1，
∴f(x+2)=-

1

f(x)

，
∴f(x+4)=-

1

f(x+2)

=f(x)，
∴f（5）=f（1）=-5，
f（-5）=f（-5+8）=f（3）=-

1

f(1)

=

1

5

，
∴f(f(5))=

1

5

．
解法二：令x=3，得f（3）•f（5）=-1，①
令x=1，得f（1）•f（3）=-1，②
①÷②，得

f(5)

f(1)

=1，
∴f（5）=f（1）=-5．
令x=-5，得f（-5）•f（-3）=-1，③
令x=-3，得f（-3）•f（-1）=-1，④
令x=-1，得f（-1）•f（1）=-1，⑤
④÷⑤，得

f(-3)

f(1)

=1，
∴f（-3）=f（1）=-5，⑥
将⑥式代入③式，得f（-5）=

1

5

，
∴f[f（5）]=f（-5）=

1

5

．
答案：

1

5

解析