已知y=f（x）的定义域为R，且对任意的实数x，
难度：一般
题型：解答题
来源：不详
题目
已知y=f（x）的定义域为R，且对任意的实数x，恒有等式2f（x）+f（-x）-3•2sinx=0成立．
（1）试求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在[-，]的单调性，并用单调性定义予以证明；
（3）若f(x)=
3
答案
| （1）∵2f（x）+f（-x）-3•2sinx=0，
∴2f（-x）+f（x）-3•2sin（-x）=0，
联立消去f（-x），可得f(x)=21+sinx-；
（2）f（x）在[-，]上单调递增，
证明：任意x1，x2∈[-，]，设x1＜x2，则
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| f(x1)-f(x2)=(21+sinx1-)-(21+sinx2-) |
| =2(2sinx1-2sinx2)+(-) |
| =(2sinx1-2sinx2)(2+) |
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因为x1，x2∈[-，]，所以sinx1＜sinx2，
所以2sinx1＜2sinx2，又2sinx1+sinx2＞0，
所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在[-，]上单调递增．
（3）由（2）过程容易知道，f（x）在[，]上单调递减，
又f（x）=f（x+2π），所以f（x）是最小正周期为2π的周期函数．
设t=2sinx，则t∈（0，2]，由2t-= |
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